Comprendre et calculer des additions de fractions
Additionner des fractions peut poser des difficultés à certains élèves du collège.
Voici des explications pour effectuer des additions de fractions et en comprendre le mécanisme.
On va se concentrer sur le mécanisme de base permettant d'additonner des fractions sans chercher le résultat optimal de la fraction irreductible.
Sommaire
3 fois `1/3`
Rappel sur les mots utilisés pour les fractions
Petit rappel sur la terminologie des fractions :
Dans une fraction un trait horizontal sépare deux nombres.
Le nombre au dessus du trait est appelé numérateur et le nombre sous le trait est nommé dénominateur.
Dans la fraction `7/3` Le numérateur vaut 7 et le dénominateur est 3.
Bien retenir
`("NUMERATEUR")/("DENOMINATEUR")`
Addition de fractions de même dénominateur
Pour additionner deux fractions qui ont le même dénominateur, il suffit d'additionner les numérateurs et de laisser le dénominateur inchangé.
`a/d+c/d = (a + c)/d`
Exemple d'addition de 2 fractions de même dénominateur
`7/3+2/3 = (7+ 2)/3 = 9/3` Les deux fractions de l'addition de départ ont 3 comme dénominateur en commun.
La fraction `9/3` peut se simplifier pour se mettre sous une forme irreductible `3/1` c'est à dire `3` mais ce n'est pas l'objet de cette explication. Par contre dans un exercice, il est souvent exigé de simplifier les fractions quand on donne le résultat.
Autre exemple d'addition de fractions dont les dénominateurs sont égaux
`1/4+1/4+1/4= (1+1+1)/4 = 3/4`
Contre exemple avec des dénominateurs différents
Pourquoi cela ne marche pas avec `2/3+1/4` ?
Parce que `2/3` peut s'écrire `1/3+1/3`
On a alors `2/3+1/4` qui peut s'écrire `1/3+1/3+1/4`
Les tiers et les quarts ne sont pas de même granularité. Un tiers c'est une part de quelque chose divisée en 3 alors qu'un quart c'est une part de cette même chose divisée en 4.
Manger `3/3` de Pizza !
C'est manger `6/6` de Pizza !
Exercices sur les additions de fractions à imprimer générés aléatoirement.
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Addition de fractions (dénominateurs différents)
Le principe de calcul est de remplacer les fractions de l'addition par des fractions équivalentes de même dénominateur à l'aide de l'égalité suivante :
`a/b+c/d = (a times d + c times b)/(b times d)`
Cette méthode est la plus simple à appliquer mais elle donne un résultat avec un dénominateur assez gros. Pour un dénominateur plus petit il est préférable d'utiliser une méthode mettant en oeuvre le PPCM des dénominateurs.
Explications de la formule ci-dessus :
`a/b+c/d`
La fraction `a/b` est un nombre qui est le même que `a/b times 1`
or `1 = d/d` si `d` n'est pas égal à zéro
Ainsi `a/b times 1` est le même nombre que `a/b times d/d`
Nombre qui peut s'écrire en appliquant les règles de multiplication des fractions :
`(a times d)/(b times d)`
On a donc `a/b = (a times d)/(b times d)`
En procédant de la même manière on a `c/d = (c times b)/(d times b)`
comme `b times d = d times b` car la multiplication est commutative
on a : `a/b+c/d = (a times d)/(b times d) + (c times b)/(b times d)`
La moitié c'est `1/2`
La moitié de la moitié
c'est un `1/4`
Deux quarts c'est un demi
Exemple d'addition de fractions:
calcul de `1/5+1/4`
`1/5=4/20` et `1/4=5/20`
donc `1/5+1/4=4/20+5/20`
et `4/20+5/20= (4+5)/20`
Comprendre l'addition de fractions ayant des dénominateurs différents
Pour fixer les idées raisonnons en parts de pizza.
Pour calculer `1/3` de pizza plus `1/4` de pizza, il faudrait exprimer cela en portions de pizza même taille.
Si j'ai mangé `1/3` puis `1/4` de pizza, je sais très bien ce que j'ai mangé mais exprimer cela sous la forme d'une somme de deux franctions peut paraitre inélégant pour certains puristes.
Aussi devrais-je découper mon 1/4 et mon 1/3 de pizza de manière à ce que les portions obtenues soit égales entres elles.
Total de un tiers + un quart :
Proposition 1 :
Si je découpe mon 1/4 de pizza en 3,
en faisant ce découpage, j'obtiens des portions de même taille plus exactement des portions d'un douzième de pizza.
Démonstration 1:
Pour avoir une pizza complète il me faut 4 quarts de pizza or j'ai découpé chaque quart en parties 3 égales. Avec ce découpage j'obtients 12 parts égales pour reconstituer un pizza entière.
Ainsi chaque portion nouvellement créée représente `1/12` de la pizza.
Fin de la démonstration 1.
Découpage en 3
de mon quart de pizza
Proposition P2 :
Si je découpe mon 1/3 de pizza en 4,
en faisant ce découpage, j'obtiens des portions de même taille plus exactement des portions d'un douzième de pizza.
Démonstration de P2:
Pour avoir une pizza complète il me faut 3 tiers de pizza or j'ai découpé chaque tiers en parties 4 égales. Avec ce découpage, j'ai 12 parts égales qui constituent un pizza entière.
Chaque portion nouvellement créée représente alors `1/12` de la pizza.
Fin de la démonstration de P2.
Découpage en 4
de mon tiers de pizza
Ainsi chaque portion nouvellement créée représente `1/12` de la pizza.
Mon quart correspond à 3 parts dans ce découpage en 12.
ce qui peut s'écrire avec l'égalité suivante : `1/4=(3times1)/(3times4)=3/12`
De la même manière mon tiers, qui correspond à 4 parts dans ce découpage en 12, peut s'écrire : `1/3=(4times1)/(4times3)=4/12`
En comptant le nombre de parts obtenu par ce découpage je dénombre 4 parts en provenance de mon tiers de pizza et 3 parts de mon quart de pizza soit un total de 7 parts de 1/12 de pizza.
`1/3+1/4 = 4/12 + 3/12 = (4+3)/12`
d'où le résultat suivant :
`1/3+1/4 = 7/12`
Pour additionner des fractions de dénominateurs différents il faut remplacer les fractions de l'additions de départ par des fractions équivalentes de même dénominateur.
Voici un exemple d'addition de fractions dont le résultat est présenté sous la forme d'une fraction sous forme irréductible.
Les différentes étapes du calcul sont fournies avec la solution détaillée de l'addition de deux fractions.
Exemple d'addition de fractions : Exercice corrigé avec explications détaillées
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