Exercice de Calcul du PPCM, méthodes et solutions

Pour le calcul du PPCM voici deux méthodes présentées en détail sur des cas concrets.

1. La première méthode pour trouver le PPCM est la plus simple puisqu'elle consiste à rechercher la liste des multiples des deux nombres.

2. Dans la deuxième méthode, la recherche du plus petit multiple se fait en utilisant une propriété connu du ppcm et du pgcd de deux nombres : Le produit du PPCM et du PGCD de deux nombres est égal au produit de ces deux nombres.

Exercice : Calculer le PPCM des nombres suivants : 69 et 77

Solution détaillée pour le calcul du PPCM de 69 et 77

Méthode 1 : recherche des multiples de 69 et 77

Il nous allons chercher les multiples consecutifs de 69 et 77 à tour de rôle charque fois que l'un depassera l'autre jusqu'a trouver l'itération dans laquelle ils seront égaux.

Voici en rouge les multiples de 69 et en bleu les multiples de 77.

138, 154, 207, 231, 276, 308, 345, 385, 414, 462, 483, 539, 552, 616, 621, 693, 690, 759, 770, 828, 847, 897, 924, 966, 1001, 1035, 1078, 1104, 1155, 1173, 1232, 1242, 1309, 1311, 1386, 1380, 1449, 1463, 1518, 1540, 1587, 1617, 1656, 1694, 1725, 1771, 1794, 1848, 1863, 1925, 1932, 2002, 2001, 2070, 2079, 2139, 2156, 2208, 2233, 2277, 2310, 2346, 2387, 2415, 2464, 2484, 2541, 2553, 2618, 2622, 2695, 2691, 2760, 2772, 2829, 2849, 2898, 2926, 2967, 3003, 3036, 3080, 3105, 3157, 3174, 3234, 3243, 3311, 3312, 3388, 3381, 3450, 3465, 3519, 3542, 3588, 3619, 3657, 3696, 3726, 3773, 3795, 3850, 3864, 3927, 3933, 4004, 4002, 4071, 4081, 4140, 4158, 4209, 4235, 4278, 4312, 4347, 4389, 4416, 4466, 4485, 4543, 4554, 4620, 4623, 4697, 4692, 4761, 4774, 4830, 4851, 4899, 4928, 4968, 5005, 5037, 5082, 5106, 5159, 5175, 5236, 5244, 5313, 5313, fin de la recherche car on a trouvé un multiple commun et comme il s'agit du premier trouvé, il est donc le plus petit c'est à dire le PPCM.

Le nombre 5313 est présent en bleu et en rouge dans la liste. Le PPCM est donc 5313

Méthode 2 : Calcul du PPCM via la formule PPCM(A;B)×PGCD(A;B) = A×B

69 × 77 = 5313

après calcul le PGCD de 69 et 77 est 1.

Remarque : Lorsque le PGCD est 1 l'on peut dire que 69 et 77 sont premiers entre eux et le PPCM est dans ce cas le produit de ces deux nombres.

`PPCM = 69×77`

`PPCM = 5313`