Comprendre la notion de diviseur d'un nombre entier naturel

La notion de diviseur semble simple à comprendre et pourtant elle constitue un écueil redoutable pour nombre de personnes.

Voici un rappel de la notion de diviseur présentée sous une forme intuitive. Pour maîtriser cette notion de diviseur, nous présenterons sous une forme "sensible et palpable" la relation "diviseur de".

Les diviseurs : un problème de cagettes et de pommes ?

Quelles sont les tailles de cagettes possibles en les prenant toutes les cagettes de la même taille pour que toutes les pommes soient rangées et qu'il n'y ait aucun emplacement de libre dans les cagettes ?

Exemple pour les 5 pommes quelles sont les cagettes possibles

Les pommes peuvent être mises dans des cagettes individuelles. 1 est un diviseur de 5

Si l'on utilise des cagettes de deux, il reste une pomme hors cagette. 2 n'est pas un diviseur de 5.

Si on prend une cagette supplémentaire, il reste un emplacement vide dans la cagette.

De même pour une cagette de trois pommes, l'on ne peut placer toutes les pommes.

Avec une cagette de quatre pommes

Par contre une cagette de cinq emplacements permet de ranger correctement cinq pommes

Pour faire le parallèle avec les diviseurs, dans le cas où la taille des cagettes permet de ranger correctement les pommes sans qu'il y ait de pomme hors cagette ni d'emplacement vide dans les cagettes, cette taille de cagette permet de diviser le nombre de pommes correctement sans pommes hors cagette.

Dans le cas de 5 pommes, il faut des 5 cagettes d'une pomme ou une seule cagette de 5 pommes.

Dans le langage de l'arithmétique, l'on dit que 1 est un diviseur de 5 et que 5 est un diviseur de 5 et que les nombres 2, 3 et 4 ne sont pas des diviseurs de 5.